Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．

（1）求直线CD的解析式；

（2）求抛物线的解析式；

（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；

（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=﹣x+1；（2）y=x2+2x+1；（3）证明见解析；（4）存在．为.

【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求出直线解析式；

（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（3）关键是证明△CEQ与△CDO均为等腰直角三角形；

（4）如图所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF的周长最小．如图③所示，利用勾股定理求出线段C′C″的长度，即△PCF周长的最小值．

（1）C（0，1），D（1，0）

∴直线CD的解析式为；

（2）设抛物线解析式为y=a（x－2）2+3，

易得y=（x－2）2+3=x2+2x+1

（3）OC=OD，OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，

对称轴x=2与CE交于点M，M（2，1）

易知△QMC与△QME是等腰直角三角形

∴△ CQE也是等腰直角三角形

∴△CEQ∽△CDO

（4）存在。

如图作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称性得：

PC=PC′ CF=C″F

C，C′关于直线QE对称

C′（4，5）

又C″（－1，0） C′C″=

∴△PCF的周长最小值是