Question

如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转40°得到△A₁BC₁，AB与A₁C₁相交于点D,AC与A₁C₁、BC₁分别交于点E、F.

求证:ΔBCF≌ΔBA₁D.

当∠C=40°时,请你证明四边形A₁BCE是菱形.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质，得出A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，再根据ASA即可判定△BCF≌△BA1D；

（2）根据∠C=40°，△ABC是等腰三角形，即可得出∠A=∠C1=∠C=40°，进而得到∠C1=∠CBF，∠A=∠A1BD，由此可判定A1E∥BC，A1B∥CE，进而得到四边形A1BCE是平行四边形，最后根据A1B=BC，即可判定四边形A1BCE是菱形．

（1）∵△ABC是等腰三角形，

∴AB=BC，∠A=∠C，

∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转40度到△A1BC1的位置，

∴A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，

在△BCF与△BA1D中， ，

∴△BCF≌△BA1D（ASA）；

（2）∵∠C=40°，△ABC是等腰三角形，

∴∠A=∠C1=∠C=40°，

∴∠C1=∠CBF=40°，∠A=∠A1BD=40°，

∴A1E∥BC，A1B∥CE，

∴四边形A1BCE是平行四边形，

∵A1B=BC，

∴四边形A1BCE是菱形．