Question

如图，已知直线与⊙O相离，OA⊥于点A,交⊙O于点P,点B是⊙O上一点,连接BP并延长,交直线于点C,使得AB=AC.

（1）求证:AB是⊙O的切线；

（2）若PC=2,OA=4,求⊙O的半径.

Answer

（1）详见解析；（2）1.

【解析】试题分析：（1）连结OB，如图，由等腰三角形的性质得∠1=∠2，∠4=∠5，由OA⊥AC得∠2+∠3=90°，加上∠3=∠4，易得∠5+∠1=90°，即∠OBA=90°，于是根据切线的判定定理可得AB是⊙O的切线；

（2）作OH⊥PB于H，如图，根据垂径定理得到BH=PH，设⊙O的半径为r，则PA=OA-OP=4-r，根据勾股定理得到AC，AB，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．

（1）证明：连结OB，

∵AB=AC，

∴∠1=∠2，

∵OA⊥AC，

∴∠2+∠3=90°，

∵OB=OP，

∴∠4=∠5，而∠3=∠4，

∴∠5+∠2=90°，

∴∠5+∠1=90°，即∠OBA=90°，

∴OB⊥AB，

∴AB是⊙O的切线；

（2）【解析】
设⊙O的半径为r，则PA=OA﹣OP=4﹣r，

在Rt△PAC中，AC2=PC2﹣PA2=（2）2﹣（4﹣r）2，

在Rt△OAB中，AB2=OA2﹣OB2=42﹣r2，而AB=AC，

∴（2 2﹣（4﹣r）2=42﹣r2，

解得r=1，

即⊙O的半径为1．