Question

如图，等边中， 是的角平分线， 为上一点，以为一边且在下方作等边，连接．

（）求证： ≌．

（）延长至， 为上一点，连接、使，若，求的长．

Answer

（）证明见解析;（）PQ=8.

【解析】试题分析：

（1）由△ABC、△DCE都是等边三角形可得：AC=BC、CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而可得∠ACD=∠BCE，这样由“SAS”即可证得：△ACD≌△BCE；

（2）由等边△ABC中，AO平分∠BAC可得∠CAD=∠BAC=30°，结合△ACD≌△BCE可得∠CBE=30°；过点C作CH⊥BQ于点H，由此可得CH=BC=3，在Rt△CHQ中，由勾股定理可得HQ=4，结合CP=CQ可得PQ=2HQ=8.

试题解析：

（）∵， 均为等边三角形，

∴，

∴，

即，

在和中，

，

∴≌．

（）∵等边△ABC中，AO平分∠BAC，

∴∠CAD=∠BAC=30°.

如下图，过点作，垂足为，

由（）知≌，

则，

∴，

∴在中， ，

又∵CP=CQ，CH⊥PQ，

∴．