Question

如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB.E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α.

(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上.

①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE   CF；

②如图2，若0°＜∠BCA<180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件   ，使①中的结论仍然成立，并说明理由；

(2)如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想：    .

Answer

(1)①＝；②∠BCA＝180°－∠α；(2 )EF＝BE＋AF.

【解析】试题分析：（1）①由∠BCA=90°，∠α=90°可得∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，可推得∠CBE=∠ACD，且已知CA=CB，∠BEC=∠CFA，所以△BEC≌△CDA，可得BE=CF；

②只有满足△BEC≌△CDA，才有①中的结论，即∠BCE=∠CAF，∠CBE=∠FCA；由三角形内角和等于180°，可知∠α+∠BCE+∠CBE=180°，即∠α+∠BCE+∠FCA=180°，即可得到∠BCA=180°-∠α；

（2）只要通过条件证明△BEC≌△CFA（可通过ASA证得），可得BE=CF，EC=AF，即可得到EF=EC+CF=BE+AF．

试题解析：（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，

∴∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，

∴∠CBE=∠ACD，

在△BEC与△CDA中，

∵ ，

∴△BEC≌△CFA（AAS），

∴BE=CF

故答案为：=；

②∠α与∠BCA应满足的关系是∠BCA=180°-∠α，理由为：

∵∠α+∠BCA=180°，

∴∠α+∠BCE+∠FCA=180°，

∵∠α+∠BCE+∠CBE=180°（三角形内角和等于180°），

∴∠CBE=∠ACD，

又∵∠BEC=∠CFA，CA=CB，

∴△BEC≌△CFA（AAS），

∴BE=CF，

则∠α与∠BCA应满足的关系是∠BCA=180°-∠α；

（2）探究结论：EF=BE+AF，

∵∠1+∠2+∠BCA=180°，∠2+∠3+∠CFA=180°，

又∵∠BCA=∠α=∠CFA，

∴∠1=∠3；

又∵∠BEC=∠CFA=∠α，CB=CA，

∴△BEC≌△CFA（AAS），

∴BE=CF，EC=FA，

∴EF=EC+CF=BE+AF．