Question

如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），CE的延长线交AD于点F，连接AE．

（1）求证：△ABE∽△FDE；

（2）当BE=3DE时，求tan∠1的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）2.

【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质得到AB=BC，∠ABE=∠CBE=∠FDE=45°，根据全等三角形的性质得到∠BAE=∠ECB，等量代换得到∠BAE=∠DFE，即可得到结论；
（2）连接AC交BD于O，设正方形ABCD的边长为a，根据勾股定理得到BD=a，BO=OD=OC=a，根据已知条件得到OE=OD=a，然后根据三角函数的定义得到结论．

试题解析：（1）证明：在正方形ABCD中，

∵AB=BC，

∠ABE=∠CBE=∠FDE=45°，

在△ABE与△CBE中，

∴△ABE≌△CBE，

∴∠BAE=∠ECB，

∵AD∥BC，∴∠DFE=∠BCE，

∴∠BAE=∠DFE，

∴△ABE∽△FDE；

（2）连接AC交BD于O，

设正方形ABCD的边长为a，

∴BD=a，BO=OD=OC=a，

∵BE=3DE，

∴OE=OD=a，

∴tan∠1=tan∠OEC==2．