Question

如图，抛物线y=﹣（x+m）（x﹣4）（m＞0）交x轴于点A、B（A左B右），交y轴于点C，过点B的直线y=x+b交y轴于点D．

（1）求点D的坐标；

（2）把直线BD沿x轴翻折，交抛物线第二象限图象上一点E，过点E作x轴垂线，垂足为点F，求AF的长；

（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，若四边形BDEP为平行四边形，求m的值及点P的坐标．

Answer

（1）D（0，﹣2）；（2）AF=1；（3）m=3，P（2，5）.

【解析】试题分析：（1）由点的直线上，点的坐标符合函数解析式，代入即可；
（2）先求出OB，OD再利用锐角三角函数求出BF=2EF，由它建立方程4-t=2×[-（t+m）（t-4）]，求解即可；
（3）先判断出△PEQ≌△DBO，表示出点P（t+4，-（t+m）（t-4））+2），再利用它在抛物线 y=-（t+m）（t-4）上求解．

试题解析：（1）∵抛物线y=-（x+m）（x-4）（m＞0）交x轴于点A、B（A左B右）

当y=0时，0=-（x+m）（x-4），

∴x1=-m，x2=4

∴A（-m，0），B（4，0）

∵点B在直线y=x+b上，

∴4×+b=0，b=-2

∴直线y=x-2，

当x=0时y=-2

∴D（0，-2），

（2）设E（t，-（t+m）（t-4）），

∵EF⊥x轴，

∴∠EFO=90° EF∥y轴，

∴F（t，0），

由（1）可知D（0，-2）B（4，0），

∴OD=2 OB=4，

∴在Rt△BDO中，tan∠DBO=，

∵直线BD沿x轴翻折得到BE，

∴∠DBO=∠EBF，

∴tan∠DBO=tan∠EBF，

∴tan∠EBF=，

∴，

∴BF=2EF，

∴EF=-（t+m）（t-4）BF=4-t

∴4-t=2×[-（t+m）（t-4）]

∴t+m=1，

∴AF=t-（-m）=t+m=1，

∴AF=1，

（3）如图，

过点E作x轴的平行线，过点P作y轴的平行线交于点Q

设EP交y轴于点M

∵四边形BDEP是平行四边形

∴EP∥DB EP=DB

∵EP∥DB PQ∥y轴，

∴∠EMD=∠ODB∠EMD=∠EPQ，

∴∠ODB=∠EPQ，

∵∠PQE=∠DOB=90° EP=BD，

∴△PEQ≌△DBO，

∴PQ=OD=2 EQ=OB=4，

∵E（t，-（t+m）（t-4）），

∴P（t+4，-（t+m）（t-4）+2），

∵P（t+4，-（t+m）（t-4））+2）在抛物线 y=-（t+m）（t-4）上

∴-（t+4+m）（t+4-4）=-（t+m）（t-4）+2

∵t+m=1，

∴t=-2，

∵t+m=1，

∴m=3，

∴-（t+m）（t-4）+2=5，

∴P（2，5）