Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交与点，与轴交于、两点，点坐标为，抛物线的对称轴方程为．

（）求抛物线的解析式．

（）点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，在点运动过程中，是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

（）若点为抛物线对称轴上一点，当是直角三角形时，求点的坐标．

Answer

（）抛物线的解析式为；

（）或时， 为直角三角形；

（）点坐标为， ， ， ．

【解析】试题分析： 把点的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数的解析式，通过解方程组求得它们的值；

分和两种情况进行讨论.

分三种情况进行讨论.

试题解析：（）∵点坐标为抛物线对称轴方程为，

∴，

把， ， 代入中，

解得，

∴抛物线的解析式为．

（）

①当时，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴秒之后， ，

∴，

∵是直角三角形，

，

∴，

又∵，

∴，

∴．

②当时，

∵，

，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴

，

∴或时， 为直角三角形．

（）设点坐标为，

①若，

∴，

即，

∴点坐标为．

②若，

∴，

即

，

∴点坐标为．

③若，

即，

.

，

∴点坐标为或．

综上所述， 点坐标为， ， ， ．