Question

如图，已知抛物线与x轴交于点A、B（点A位于点B左侧），与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D，M为抛物线的顶点．

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）设动点N（-2，n），求使MN+BN的值最小时n的值；

（3）P是抛物线上位于x轴上方的一点，请探究：是否存在点P，使以P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）A（-2，0）、B（4，0）、点C（0，-）；（2）n=；（3）存在点（6，2）、（-4，2），使以P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似．

【解析】试题分析：（1）令y=0可求得点A、点B的横坐标，令x=0可求得点C的纵坐标；

（2）根据两点之间线段最短作M点关于直线x=-2的对称点M′，当N（-2，N）在直线M′B上时，MN+BN的值最小；

（3）需要分类讨论：△PAB∽△ABD、△PAB∽△ABD，根据相似三角形的性质求得PB的长度，然后可求得点P的坐标．

试题解析：（1）令y=0得x1=-2，x2=4，

∴点A（-2，0）、B（4，0）

令x=0得y=-，

∴点C（0，-）

(2)过点A(－2，0)作y轴的平行线l，则点B关于l的对称点B′(－8，0)，

又M(1，－)，连接B′M与l的交点即为MN＋BN值的最小点．

设直线B′M的解析式为y＝kx＋b，

则，解得，

∴，

∴当x＝－2时，n＝．

(3)假设存在点P(t，)，使以P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似，下面分情况讨论：

(Ⅰ)当点P在第一象限时，显然∠PBA为钝角，∠BAD与∠ABD为锐角，过D作DE⊥x轴于点E，过P作PF⊥x轴于点F，易得D(2，－)．

∵∠PAF＝∠DAE，则△PAF∽△DAE，

∴，

∴，

解得t＝6，或t＝－2(舍)．

t＝6时，PF＝2，AF＝8，PA＝6，

又∵AD＝3，

∴，，

所以，

∴t＝6时，△PAB与△BAD相似，且P(6，2)．

②若∠PAF＝∠DBE，则△PAF∽△DBE，

∴，

∴，解得t＝8，或t＝－2(舍)．

t＝8时，AF＝10，PF＝5，PA＝5，

又∵BD＝，

∴，，，

所以，且，

∴t＝8时，△PAB与△BAD不可能相似．

(Ⅱ)当点P在第二象限时，

根据对称性易知存在点P(－4，2)，使△PAB∽△BDA．

综上所述，存在点(6，2)、(－4，2)、，使以P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似．