Question

在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．

（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；

（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．

Answer

（1）；（2）．

【解析】试题分析：（1）在Rt△OPB中，由OP=OB·tan∠ABC可求得OP=，连接OQ，在Rt△OPQ中，根据勾股定理可得PQ的长；（2）由勾股定理可知OQ为定值，所以当当OP最小时，PQ最大．根据垂线段最短可知，当OP⊥BC时OP最小，所以在Rt△OPB中，由OP=OB·sin∠ABC求得OP的长；在Rt△OPQ中，根据勾股定理求得PQ的长．

试题解析：【解析】
（1）∵OP⊥PQ，PQ∥AB，∴OP⊥AB．

在Rt△OPB中，OP=OB·tan∠ABC=3·tan30°=．

连接OQ，在Rt△OPQ中， ．

（2） ∵

∴当OP最小时，PQ最大，此时OP⊥BC．

OP=OB·sin∠ABC=3·sin30°=．

∴PQ长的最大值为．