Question

【探索新知】：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．

（1）一个角的平分线　   　这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）

（2）如图2，若∠MPN=α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ=　   　；（用含α的代数式表示出所有可能的结果）

【深入研究】：如图2，若∠MPN=60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒．

（3）当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；

（4）若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止，请直接写出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时t的值．

Answer

（1）是；（2）α或α或α；（3）t为9或12或18时；（4）t为2.4或4或6.

【解析】试题分析：（1）根据巧分线定义即可判定；（2）分三种情况，根据巧分线定义即可求解；（3）分三种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可；（4）分三种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可．

试题解析：

（1）一个角的平分线是这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）

故答案为：是

（2）∵∠MPN=α，

∴∠MPQ=α或α或α；

故答案为α或α或α；

深入研究：

（3）依题意有

①10t=60+×60，

解得t=9；

②10t=2×60，

解得t=12；

③10t=60+2×60，

解得t=18．

故当t为9或12或18时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；

（4）依题意有

①10t=（5t+60），

解得t=2.4；

②10t=（5t+60），

解得t=4；

③10t=（5t+60），

解得t=6．

故当t为2.4或4或6时，射线PQ是∠MPN的“巧分线”．