Question

如图，平面直角坐标系中，矩形 OABC 的 顶 点 A（0，3），C（- 1，0）. 将 矩 形 OABC 绕原点顺时针旋转 90⁰，得到矩形 OA’B’C’.解答下列问题：

（1）求出直线 BB’的函数解析式；

（2）直线 BB’与 x 轴交于点 M、与 y 轴交于点N，抛物线 y = ax²+ bx + c 的图象经过点C、M、N，求抛物线的函数解析式.

（3）将△MON 沿直线 MN 翻折，点 O 落在点P 处，请你判断点 P 是否在抛物线上，说明理由.

Answer

（1）y=-;(2)y=;(3)不在.

【解析】试题分析：本题考查二次函数的综合应用，其中涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式和函数图象上点的意义，矩形的性质与面积，函数和方程之间的关系等．要熟练掌握才能灵活运用．

（1）根据四边形OABC是矩形可知B（-1，3）．根据旋转的性质，得B′（3，1）．

把B（-1，3），B′（3，1）代入y=mx+n中，利用待定系数法可解得y=-．

（2）由（1）得，N（0，），M（5，0）．设二次函数解析式为y=a+bx+c，把C（-1，0），M（5，0），N（0，）代入得，利用待定系数法解得二次函数解析式为y=+2x+．

（3）过点O作OD⊥MN于点D，由M、N点的坐标，可求出ON、OM的值，进而求得MN的值，然后可求得OD的值，进而求出OP的值，得到P点的坐标，然后将P点的坐标代入抛物线的解析式，即可判断点P是否在抛物线上．

试题解析：（1）由题意得，B（，3），（3，1），

∴直线的解析式为；

（2）直线与轴的交点为M（5，0），

与轴的交点N（0，），

设抛物线的解析式为，

∵抛物线过点N，

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为=；

（3）过点O作OD⊥MN于点D，

∵M（5，0），N（0，），

∴ON=，OM=5，

∴MN=，

∴OD=，

∵将△MON沿直线MN翻折，点O落在点P处，

∴OP=，

∴P（2，4）代入抛物线的解析式，

点P不在抛物线上．