Question

直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B 在射线OM上运动.

（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小. 

（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，AD、BC的延长线交于点F，点A、B在运动的过程中，∠F=               °；DE、CE又分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小也不发生变化，其大小为∠CED=            °. 

（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F，则∠EAF=            °  ；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，则∠ABO=            °.

Answer

（1）135°；（2）45°，67.5°；（3）60°或45°．

【解析】试题分析：（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线得出∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，由三角形内角和定理即可得出结论；

（2）延长AD、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，进而得出∠OAB+∠OBA=90°，故∠PAB+∠MBA=270°，再由AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE=112.5°，进而得出结论；

（3））由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．

【解析】
（1）∠AEB的大小不变，

∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，

∴∠OAB+∠OBA=90°，

∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，

∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，

∴∠BAE+∠ABE=（∠OAB+∠ABO）=45°，

∴∠AEB=135°；

（2）∠CED的大小不变．

延长AD、BC交于点F．

∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，

∴∠AOB=90°，

∴∠OAB+∠OBA=90°，

∴∠PAB+∠MBA=270°，

∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，

∴∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，

∴∠BAD+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°，

∴∠F=45°，

∴∠FDC+∠FCD=135°，

∴∠CDA+∠DCB=225°，

∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，

∴∠CDE+∠DCE=112.5°，

∴∠E=67.5°；

（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，

∴∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，

∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO，

∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，

∴∠EAF=90°．

在△AEF中，∵有一个角是另一个角的3倍，故有：

①∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；

②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°（舍去）；

③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；

④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍去）．

∴∠ABO为60°或45°．