Question

如图，在△ABC中，O是AC上一动点（不与点A、C重合），过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

（1）OE与OF相等吗？证明你的结论；

（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．

Answer

（1）OE=OF（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形

【解析】整体分析：

（1）利用等角对等边分别判断OE=OC，OF=OC；（2）先判断四边形AECF是平行四边形，再证明∠ECF=90°.

解：（1）OE=OF，

∵MN∥BC，

∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠FCD，

∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠BCE=∠ACE，∠OCF=∠FCD，

∴∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，

∴OE=OC，OC=OF，

∴OE=OF．

（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，

∵AO=CO，OE=OF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵∠ECA+∠ACF=∠BCD，

∴∠ECF=90°，

∴四边形AECF是矩形．