Question

如图，将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，连接AE，CF，AC.

(1)求证：四边形AECF为菱形；

(2)若AB＝4，BC＝8，①求菱形AECF的边长；②求折痕EF的长．

Answer

(1)证明见解析；（2）①5；②2.

【解析】试题分析：（1）根据折叠的性质得OA=OC，EF⊥AC，EA=EC，再利用AD∥AC，得到∠FAC=∠ECA，则可根据“ASA”判断△AOF≌△COE，得到OF=OE，加上OA=OC，AC⊥EF，于是可根据菱形的判定方法得到四边形AECF为菱形；
（2）①设菱形的边长为x，则BE=BC−CE=8−x，AE=x，在Rt△ABE中，根据勾股定理得然后解方程即可得到菱形的边长；
②先在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出则然后在Rt△AOE中，利用勾股定理计算出

试题解析：证明：(1)∵矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕为EF，

∴OA=OC，EF⊥AC，EA=EC，

∵AD∥AC，

∴∠FAC=∠ECA，

在△AOF和△COE中，

∴△AOF≌△COE，

∴OF=OE，

∵OA=OC，AC⊥EF，

∴四边形AECF为菱形；

(2)①设菱形的边长为x，则BE=BC−CE=8−x，AE=x，

在Rt△ABE中,∵

∴ 解得x=5，

即菱形的边长为5；

②在Rt△ABC中,

∴

在Rt△AOE中，AE=5，

∴