Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.

（1）求证：CE＝AD；

（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；

（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．

   

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】分析：（1）由BC⊥AC，DE⊥BC，得到DE∥AC，从而判断出四边形ADEC是平行四边形．即可，

（2）先判断出△BFD≌△CFE，再判断出BC和DE垂直且互相平分，得到四边形BECD是菱形．

（3）先判断出∠CDB=90°，从而得到有一个角是直角的菱形是正方形．

解析：（1）证明：∵直线m∥AB，

∴EC∥AD．

又∵∠ACB=90°，

∴BC⊥AC．

又∵DE⊥BC，

∴DE∥AC．

∵EC∥AD，DE∥AC，

∴四边形ADEC是平行四边形．

∴CE=AD．

（2）当点D是AB中点时，四边形BECD是菱形．

证明：∵ D是AB中点，

∴DB=DA

又∵直线m∥AB，CE=AD

∴DB= CE，DB ∥ CE

∴四边形BDCE是平行四边形

又∵DE⊥BC

∴四边形BECD是菱形

（3）当∠A的大小是45°时，四边形BECD是正方形．