Question

如图，抛物线y=x²2x+c的顶点A在直线l：y=x5上．

（1）求抛物线顶点A的坐标；

（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；

（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）A（1，﹣4）；

（2）△ABD是直角三角形，理由见解析；

（3）存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1），使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．

【解析】试题分析：（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴方程，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l的解析式中即可求出点A的坐标．

（2）由A点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B的坐标．则AB、AD、BD三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状．

（3）若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，应分①AB为对角线、②AD为对角线两种情况讨论，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P点的坐标．

（1）∵顶点A的横坐标为，且顶点在y=x﹣5上，

∴当x=1时，y=1-5=-4，

∴A（1，-4）．

（2）将A（1，-4）代入y=x2-2x+c，可得，1-2+c=-4，c=-3，

∴y=x2-2x-3，

∴B（0，-3）

当y=0时，x2-2x-3=0，x1=-1，x2=3

∴C（-1，0），D（3，0），

∵BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4-3）2+12=2，AD2=（3-1）2+42=20，

∴BD2+AB2=AD2，

∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．

（3）由题意知：直线y=x-5交y轴于点E（0，-5），交x轴于点F（5，0）

∴OE=OF=5，

又∵OB=OD=3

∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形

∴BD∥l，即PA∥BD

则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，

过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G．

设P（x1，x1-5），则G（1，x1-5）

则PG=|1-x1|，AG=|5-x1-4|=|1-x1|

PA=BD=3

由勾股定理得：

（1-x1）2+（1-x1）2=18，x12-2x1-8=0，x1=-2或4

∴P（-2，-7）或P（4，-1），

存在点P（-2，-7）或P（4，-1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．