Question

如图，抛物线y=－x²+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．

（1）求直线AD的解析式；

（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；

（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM重合部分的面积是□APQM面积的时，求□APQM面积．

Answer

（1）直线AD的解析式为：y=x+1；

（2）△FGH周长的最大值为；

（3）□APQM面积为5或10．

【解析】试题分析：（1）根据抛物线解析式求得点A、B、C点坐标，由点D，C关于抛物线的对称轴对称得点D坐标，继而利用待定系数法求解可得；

（2）设点F（x，-x2+2x+3），根据FH∥x轴及直线AD的解析式y=x+1可得点H（-x2+2x+2，-x2+2x+3），继而表示出FH的长度，根据二次函数的性质可得FH的最值情况，易得△FGH为等腰直角三角形，从而可得其周长的最大值；

（3）设P（0，p），根据平行四边形性质及点M坐标可得Q（2，4+p），分P点在AM下方与P点在AM上方两种情况，根据重合部分的面积关系及对称性求得点P的坐标后即可得▱APQM面积．

试题解析：（1）令－x2+2x+3=0，

解得x1=－1，x2=3，

∴A（－1，0），C（0，3），

∵点D，C关于抛物线的对称轴对称，

∴D（2，3），

∴直线AD的解析式为：y=x+1；

（2）设点F（x，－x2+2x+3），

∵FH∥x轴，

∴H（-x2+2x+2，-x2+2x+3），

∴FH=－x2+2x+2-x=-（x－）2+，

∴FH的最大值为，

由直线AD的解析式为：y=x+1可知∠DAB=45°，

∵FH∥AB，

∴∠FHG=∠DAB=45°，

∴FG=GH=×=

故△FGH周长的最大值为×2+=；

（3）①当P点在AM下方时，如图，

设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），

∵△PM Q′与□APQM重合部分的面积是□APQM面积的，

∴PQ′必过AM中点N（0，2），

∴可知Q′在y轴上，易知QQ′的中点T的横坐标为1，而点T必在直线AM上，

故T（1，4），从而T、M重合，

故□APQM是矩形，

易得直线AM解析式为：y=2x+2，

而MQ⊥AM，

∴直线QQ′：y=－x+，

∴4+p=－×2+，∴p=－，（注：此处也可用AM2+AP2=MP2得出p=－），∴PN=，

∴S□APQM=2S△AMP=4S△ANP=4××PN×AO=4×××1=5；

②当P点在AM上方时，如图，

设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），

∵△PM Q′与□APQM重合部分的面积是□APQM面积的，

∴PQ′必过QM中点R（，4+），

易得直线QQ′：y=－x+p+5，

联立解得：x=，y=，

∴H（， ），

∵H为QQ′中点，故易得Q′（， ），

由P（0，p）、R（，4+）易得直线PR解析式为：y=（－）x+p，

将Q′（， ）代入到y=（－）x+p得：

=（－）×+p，

整理得：p2－9p+14=0，解得p1=7，p2=2（与AM中点N重合，舍去），

∴P（0，7），∴PN=5，

∴S□APQM=2S△AMP=2××PN×∣xM －xA∣=2××5×2=10．

综上所述，□APQM面积为5或10