Question

观察下列关于自然数的等式：

a₁：3²-1²=8×1；

a₂：5²-3²=8×2；  

a₃：7²-5²=8×3；……

根据上述规律解决下列问题：

⑴写出第a₄个等式：___________；

⑵写出你猜想的第a_n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性；

Answer

（1）92﹣72=8×4（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n

【解析】试题分析：(1)、根据给出的式子得出一般性的规律，从而得出第四个式子；(2)、猜想的式子为： ，然后根据平方差公式进行计算，得出等式成立．

试题解析：(1)、92﹣72=8×4；

(2)、结合(1)猜想第n个等式为：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n，

证明：左边=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=4n2+4n+1﹣（4n2﹣4n+1）=8n=右边．

故猜想成立．