Question

已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=﹣x²+bx+c经过点A（2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B．

（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；

（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值；

（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标．

Answer

（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2．顶点B坐标为（1，3）．

（2）cot∠AMB=m﹣2．

（3）点Q的坐标为（，﹣）或（，﹣）．

【解析】

试题分析：（1）依据抛物线的对称轴方程可求得b的值，然后将点A的坐标代入y=﹣x2+2x+c可求得c的值；

（2）过点A作AC⊥BM，垂足为C，从而可得到AC=1，MC=m﹣2，最后利用锐角三角函数的定义求解即可；

（3）由平移后抛物线的顶点在x轴上可求得平移的方向和距离，故此QP=3，然后由点QO=PO，QP∥y轴可得到点Q和P关于x对称，可求得点Q的纵坐标，将点Q的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x的值，则可得到点Q的坐标．

试题解析：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，∴x=﹣=1，即 =1，解得b=2．

∴y=﹣x2+2x+c．

将A（2，2）代入得：﹣4+4+c=2，解得：c=2．

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2．

配方得：y=﹣（x﹣1）2+3．∴抛物线的顶点坐标为（1，3）．

（2）如图所示：过点A作AC⊥BM，垂足为C，则AC=1，C（1，2）．

∵M（1，m），C（1，2），∴MC=m﹣2．∴cot∠AMB==m﹣2．

（3）∵抛物线的顶点坐标为（1，3），平移后抛物线的顶点坐标在x轴上，

∴抛物线向下平移了3个单位．

∴平移后抛物线的解析式为y=﹣x2+2x﹣1，PQ=3．

∵OP=OQ，∴点O在PQ的垂直平分线上．

又∵QP∥y轴，∴点Q与点P关于x轴对称．

∴点Q的纵坐标为﹣ ．

将y=﹣代入y=﹣x2+2x﹣1得：﹣x2+2x﹣1=﹣，解得：x= 或x=．

∴点Q的坐标为（，﹣）或（，﹣）．