Question

如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．

（1）求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）证明AP＝AQ．

Answer

（1）作图见解析；（2）证明见解析.

【解析】分析：（1）根据角平分线的性质作出BQ即可；

（2）先根据垂直的定义得出∠ADB=90°，故∠BPD+∠PBD=90°．再根据余角的定义得出∠AQP+∠ABQ=90°，根据角平分线的性质得出∠ABQ=∠PBD，再由∠BPD=∠APQ可知∠APQ=∠AQP，据此可得出结论．

详【解析】
（1）如图所示，BQ为所求作

（2）∵BQ平分∠ABC ∴∠ABQ=∠CBQ

在△ABQ中，∠BAC=90°

∴∠AQP+∠ABQ=90°

∵AD⊥BC ∴∠ADB=90°

∴在Rt△BDP中，∠CBQ+∠BPD=90°

∵∠ABQ=∠CBQ ∴∠AQP=∠BPD

又∵∠BPD=∠APQ

∴∠AQP=∠AQP ∴AP=AQ