Question

如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A′B′C′，使点A′落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA′．

（1）判断四边形ACC′A′的形状，并说明理由；

（2）在△ABC中，∠B=90°，AB=8，cos∠BAC=，求CB′的长．

Answer

(1)见解析;(2)4.

【解析】分析：

（1）由平移的性质结合平行四边形的判定方法易得四边形ACC′A′是平行四边形，由AA′∥CC′结合CD平分∠ACC′证得∠ACA'=∠AA'C，可得AA'=AC，从而可得平行四边形ACC′A′是菱形；

（2）在Rt△ABC中由已知条件易得AC=10，BC=6，结合平移的性质和四边形ACC′A′是菱形即可求得CB′的长度.

详解：

（1）四边形ACC′A′是菱形，理由如下：

由平移的性质可得：AA'=CC'，且AA'∥CC'

∴四边形ACC′A′是平行四边形，

∵AA'∥CC'，

∴∠AA'C=∠A'CB'，

∵CD平分∠ACB'，

∴∠ACA'=∠A'CB'，

∴∠ACA'=∠AA'C，

∴AA'=AC，

∴平行四边形ACC′A′是菱形；

（2）在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8，

∴cos∠BAC=，

∴AC=10，

∴BC=

由平移的性质可得：BC=B'C'=6，

由（1）得四边形ACC′A′是菱形，

∴AC=CC'=10，

∴CB'=CC'﹣B'C'=10﹣6=4．