Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若∠C=60°，AC=12，求的长．

（3）若tanC=2，AE=8，求BF的长．

Answer

(1)见解析;(2) 2π；(3).

【解析】分析：（1）连接OD，根据等腰三角形的性质：等边对等角，得∠ABC=∠C，∠ABC=∠ODB，从而得到∠C=∠ODB ，根据同位角相等，两直线平行，得到OD∥AC，从而得证OD⊥EF，即 EF是⊙O的切线；

（2） 根据中点的性质，由AB=AC=12 ，求得OB=OD==6，进而根据等边三角形的判定得到△OBD是等边三角形，即∠BOD=600，从而根据弧长公式七届即可；

（3）连接AD ，根据直角三角形的性质，由在Rt△DEC中, 设CE=x,则DE=2x，然后由Rt△ADE中, ，求得DE、CE的长，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可.

详【解析】
（1）连接OD ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C

∵OD=OB ∴∠ABC=∠ODB

∴∠C=∠ODB ∴OD∥AC

又∵DE⊥AC ∴OD⊥DE，即OD⊥EF

∴EF是⊙O的切线

（2） ∵AB=AC=12 ∴OB=OD==6

由（1）得：∠C=∠ODB=600

∴△OBD是等边三角形 ∴∠BOD=600

∴= 即的长

（3）连接AD ∵DE⊥AC ∠DEC=∠DEA=900

在Rt△DEC中, 设CE=x,则DE=2x

∵AB是直径 ∴∠ADB=∠ADC=900

∴∠ADE+∠CDE=900 在Rt△DEC中,∠C+∠CDE=900

∴∠C=∠ADE 在Rt△ADE中,

∵ AE=8，∴DE=4 则CE=2

∴AC=AE+CE=10 即直径AB=AC=10 则OD=OB=5

∵OD//AE ∴△ODF∽△AEF

∴ 即：

解得：BF= 即BF的长为.