Question

如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝cm，OC＝8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．

（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；

（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；

（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y＝x ²＋bx＋c经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．

Answer

（1）S△OPQ＝－t2＋t（0＜t＜8）；（2）四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于；（3）3:29 .

【解析】试题分析：（1）根据的运动速度，可用表示出的长，进而根据的长求出的表达式，即可由三角形的面积公式得到的函数关系式；
（2）四边形的面积，可由矩形的面积差求得，进而可得到所求的定值；
（3）若与和相似，那么必为直角三角形，且 由于 所以这三个相似三角形的对应关系是 根据相似三角形得到的比例线段求出的值，进而可确定点P的坐标，求出抛物线和直线的解析式；可设点的横坐标为，根据直线和抛物线的解析式，求出 的纵坐标，进而可得到关于的长与的函数关系式，根据函数的性质即可求出的最大值及对应的点坐标；设与直线的交点为，根据点的坐标和直线的解析式即可求出点的坐标，也就能得到的长，以为底， 横坐标差的绝对值为高，可求出的面积，进而可根据四边形的面积求出五边形的面积，由此可求出它们的比例关系式．

试题解析：（1）

∴S△OPQ＝ (8－t)·t＝－t2＋t（0＜t＜8）.

（2）∵S四边形OPBQ＝S矩形ABCD－S△PAB－S△CBQ.

＝8×－×t－×8×(－t)＝.

∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于.

（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，△QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB＝90°.

又∵BQ与AO不平行，∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ.

∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP.

∴＝，即＝，解得：t＝4.

经检验：t＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度考虑）此时P（，0）.

∵B（，8）且抛物线y＝x2＋bx＋c经过B、P两点,

∴抛物线是y＝x2－x＋8，直线BP是y＝x－8.

设M（m， m－8），则N（m， m2－m＋8）.

∵M是BP上的动点，∴≤m≤.

∵y1＝x2－x＋8＝ ( x－)2.

∴抛物线的顶点是P（，0）.

又y1＝x2－x＋8与y2＝x－8交于P、B两点,

∴当≤m≤时，y2＞y1.

∴|MN |＝|y2－y1|＝y2－y1＝(m－8)－(m2－m＋8).

＝－m2＋m－16＝－ (m－)2＋2.

∴当m＝时，MN有最大值是2，此时M（，4）.

设MN与BQ交于H点，则H（，7）.

∴S△BHM＝×3×＝.

∴S△BHM：S五边形QOPMH ＝:(－)＝3:29.

∴当线段MN的长取最大值时，直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比为3:29 .