如图，四边形OABC为矩形，点B坐标为（4，2），A，C分别在x轴，y轴上，点F...

如图，四边形OABC为矩形，点B坐标为（4，2），A，C分别在x轴，y轴上，点F在第一象限内，OF的长度不变，且反比例函数经过点F.

（1）如图1，当F在直线y = x上时，函数图象过点B，求线段OF的长.

（2）如图2，若OF从（1）中位置绕点O逆时针旋转，反比例函数图象与BC，AB相交，交点分别为D，E，连结OD，DE，OE.

①求证：CD=2AE.

②若AE+CD=DE，求k.

③设点F的坐标为（a，b），当△ODE为等腰三角形时，求（a+b）2的值.

（1）OF =4；（2）①证明见解析；② k=；③96-16或36-4. 【解析】分析（1）由y=经过点B (2,4).，求出k的值，再利用F在直线y = x，求出m的值，最后利用勾股定理求解即可;(2) ①利用反比例函数k的几何意义可求解; ②Rt△EBD中，分别用n表示出BD、BE、DE，再利用勾股定理解答即可; ③分三种情况讨论即可：OE=OD； OE=DE；OD=DE. （1）∵F在直线y=x上 ∴设F（m，m）作FM⊥x轴 ∴FM=OM=m ∵y=经过点B (2,4). ∴k=8 ∴ ∴ ∴ ∴OF =4；（2）①∵函数的图象经过点D，E ∴∵ OC=2，OA=4 ∴CO=2AE ②由①得：CD=2AE ∴可设：CD=2n，AE=n ∴DE=CD+AE=3n BD=4-2n， BE=2-n 在Rt△EBD，由勾股定理得： ∴ 解得 ③CD=2c，AE=c 情况一：若OD=DE ∴ ∴ ∴ 情况二：若OE=DE ∴ ∴ 情况三：OE=OD 不存在.

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考点分析：

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如图，抛物线y=﹣x2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，点D的横坐标为m（0＜m＜3），连结DC并延长至E，使得CE=CD，连结BE，BC．