Question

如图，□ ABCD中，E是AD边上一点，AD=4，CD=3，ED=,∠A=45．点P，Q分别是BC，CD边上的动点，且始终保持∠EPQ=45°．将 CPQ沿它的一条边翻折，当翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形时，线段BP的长为________．

Answer

，3，

【解析】过点B作BF⊥AD于点F，连接BE，根据平行四边形的性质及已知条件，可证得△BEF是等腰直角三角形，求出BF、BE、的长，再利用三角形的外角性质结合已知，证明∠2=∠1，∠EBP=∠C，利用相似三角形的判定，可证得△BPE∽△CQP，再分三种情况讨论：①当CQ=QP时，则BP=PE，可证得四边形BPEF是矩形，可求出BP的长；②当CP=CQ时，则BP=BE=3；③当CP=PQ时，则BE=PE=3，再根据△BPE是等腰直角三角形，利用勾股定理，可求出BP的长，从而可得出答案.

如图，过点B作BF⊥AD于点F，连接BE

∵平行四边形ABCD

∴AD∥BC

∴∠BFE=∠FBP=90°

在Rt△ABF中，∠A=45°，AB=3

∴BF=AF=ABcos45°=3×=

∴EF=AD-AF-DE=4--=

∴EF=BF

∴∠FBE=∠EBP=45°=∠C

∠2+∠EFQ=∠1+∠C

∵∠EFQ=∠C=45°

∴∠2=∠1

∴△BPE∽△CQP

将 △ CPQ沿它的一条边翻折，当翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形时，分三种情况：

①当CQ=QP时，则BP=PE

∴∠EBP=∠BEP=45°，则∠BPE=90°

∴四边形BPEF是矩形

∴BP=EF=

②当CP=CQ时，则BP=BE=3

③当CP=PQ时，则BE=PE=3，∠BEP=90°

∴△BPE是等腰直角三角形

∴BP=.

故答案为：、3、