Question

如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，MN是经过点A的直线，BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为D，E.

(1)求证：①∠BAD＝∠ACE；②BD＝AE.

(2)请写出BD，CE，DE三者间的数量关系式，并证明．

Answer

见解析

【解析】

（1）①由直角三角形两锐角互余可得∠BAD＋∠CAE＝90°，∠ACE＋∠CAE＝90°，从而即可证得∠BAD＝∠ACE；

②通过证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的对应边相等即可得BD＝AE；

（2）BD＝CE＋DE，由△ABD≌△CAE，利用全等三角形对应边相等可得BD＝AE，AD＝CE，由AE＝AD＋DE，即可得到BD＝CE＋DE.

(1)证明：①∵∠BAC＝90°，

∴∠BAD＋∠CAE＝90°，

∵CE⊥MN，∴∠ACE＋∠CAE＝90°，

∴∠BAD＝∠ACE；

②∵BD⊥MN，CE⊥MN，

∴∠BDA＝∠AEC＝90°，

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE，

∴BD＝AE；

(2)BD＝CE＋DE.证明如下：

∵△ABD≌△CAE，

∴BD＝AE，AD＝CE.

∵AE＝AD＋DE，

∴BD＝CE＋DE.