Question

如图，在三角形ABC中，AB=AC，点D在△ABC内，且∠ADB=90°．

（1）如图1，若∠BAD=30°，AD=3，点E、F分别为AB、BC边的中点，连接EF，求线段EF的长；

（2）如图2，若△ABD绕顶点A逆时针旋转一定角度后能与△ACG重合，连接GD并延长交BC于点H，连接AH，求证：∠DAH=∠DBH．

Answer

（1）EF =3；（2）证明见解析.

【解析】

(1) 设BD=x，则AB=2x，由勾股定理得：，求出AB,再根据中位线性质求出EF;

(2) 在GH上取一点M，使GM=DH，由性质性质得△ADB≌△AGC，再证△CGM≌△BDH，得CM=BH，∠GCM=∠DBH，因为∠CMH=∠MGC+∠MCG，∠CHM=∠BDH+∠DBH，

所以∠CMH=∠CHM，可得CM=CH=BH，又AC=AB，所以AH⊥BC，∠AHB=90°=∠ADB，

又∠AOD=∠BOH，故∠DAH=∠DBH．

（1）【解析】
如图1，在Rt△ABD中，∠BAD=30°，

∴AB=2BD，

设BD=x，则AB=2x，

由勾股定理得：，

x=3或﹣3（舍），

∴AB=2x=6，

∵AC=AB=6，

∵点E、F分别为AB、BC边的中点，

∴EF=AC=3；

（2）证明：如图2，由旋转得：△ADB≌△AGC，

∴AG=AD，∠AGC=∠ADB=90°，CG=BD，

∴∠AGD=∠ADG，

∵∠ADB=90°，

∴∠ADG+∠BDH=90°，

∵∠AGD+∠MGC=90°，

∴∠MGC=∠BDH，

在GH上取一点M，使GM=DH，

∴△CGM≌△BDH，

∴CM=BH，∠GCM=∠DBH，

∵∠CMH=∠MGC+∠MCG，∠CHM=∠BDH+∠DBH，

∴∠CMH=∠CHM，

∴CM=CH=BH，

∵AC=AB，

∴AH⊥BC，即∠AHB=90°=∠ADB，

∵∠AOD=∠BOH，

∴∠DAH=∠DBH．