Question

先阅读下列材料，然后解决后面的问题．

材料：一个三位数（百位数为a，十位数为b，个位数为c），若a+c=b，则称这个三整数为“协和数”，同时规定c=（k≠0），k称为“协和系数”，如264，因为它的百位上数字2与个位数字4之和等于十位上的数字6，所有264是“协和数”，则“协和数”k=2×4=8．

（1）对于“协和数”，求证：“协和数”能被11整除．

（2）已知有两个十位数相同的“协和数”，（a₁＞a₂），且k₁﹣k₂=1，若y=k₁+k₂，用含b的式子表示y．

Answer

（1）证明见解析；（2）y==﹣1．

【解析】

（1）根据协和数的定义可得出a+c=b，由=100a+10b+c可得出=99a+11b，可证出“协和数”能被11整除；
（2）由已知可得k1﹣k2=a1•b1﹣a2•b2=a1•（b﹣a1）﹣a2（b﹣a2）=（a1﹣a2）（b﹣a1﹣a2）=1，a1、a2、b均为整数，故a1﹣a2=1，b﹣a1﹣a2=1，可得a1+a2=b﹣1，所以a12﹣2a1a2+a22=1①，a12+2a1a2+a22=（b﹣1）2②，由①+②得：=，所以

y=k1+k2=a1•b1+a2•b2=a1•（b﹣a1）+a2（b﹣a2）=b（a1+a2）﹣（）=b（b﹣1）﹣．

（1）证明：∵为“协和数”，

∴a+c=b，

∵=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+11b=11（9a+b），

∵a是整数，b是整数，

∴9a+b是整数，

∴“协和数”能被11整除；

（2）∵k1﹣k2=a1•b1﹣a2•b2=a1•（b﹣a1）﹣a2（b﹣a2）=（a1﹣a2）（b﹣a1﹣a2）=1，a1、a2、b均为整数，

∴a1﹣a2=1，b﹣a1﹣a2=1，

∴a1+a2=b﹣1，

∴a12﹣2a1a2+a22=1①，a12+2a1a2+a22=（b﹣1）2②，

①+②得：=，

y=k1+k2=a1•b1+a2•b2=a1•（b﹣a1）+a2（b﹣a2）=+=b（a1+a2）﹣（）=b（b﹣1）﹣=﹣1．