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(1)阅读理【解析】

如图①,在ABC中,若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.

解决此问题可以用如下方法:延长AD到点E使DE=AD,再连接BE(或将ACD绕着点D逆时针旋转180°得到EBD),把AB,AC,2AD集中在ABE中,利用三角形三边的关系即可判断.

中线AD的取值范围是________;   

(2)问题解决:

如图②,在ABC中,DBC边上的中点,DEDF于点D,DEAB于点E,DFAC于点F,连接EF,求证:BE+CF>EF;   

(3)问题拓展:

如图③,在四边形ABCD中,∠B+D=180°,CB=CD,BCD=140°,以C为顶点作一个70°角,角的两边分别交AB,ADE,F两点,连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系,并加以证明.

 

(1)2<AD<8;(2)证明见解析;(3)BE+DF=EF;理由见解析. 【解析】 试题(1)延长AD至E,使DE=AD,由SAS证明△ACD≌△EBD,得出BE=AC=6,在△ABE中,由三角形的三边关系求出AE的取值范围,即可得出AD的取值范围; (2)延长FD至点M,使DM=DF,连接BM、EM,同(1)得△BMD≌△CFD,得出BM=CF,由线段垂直平分线的性质得出EM=EF,在△BME中,由三角形的三边关系得出BE+BM>EM即可得出结论; (3)延长AB至点N,使BN=DF,连接CN,证出∠NBC=∠D,由SAS证明△NBC≌△FDC,得出CN=CF,∠NCB=∠FCD,证出∠ECN=70°=∠ECF,再由SAS证明△NCE≌△FCE,得出EN=EF,即可得出结论. 试题解析:(1)【解析】 延长AD至E,使DE=AD,连接BE,如图①所示: ∵AD是BC边上的中线, ∴BD=CD, 在△BDE和△CDA中,BD=CD,∠BDE=∠CDA,DE=AD, ∴△BDE≌△CDA(SAS), ∴BE=AC=6, 在△ABE中,由三角形的三边关系得:AB﹣BE<AE<AB+BE, ∴10﹣6<AE<10+6,即4<AE<16, ∴2<AD<8; 故答案为:2<AD<8; (2)证明:延长FD至点M,使DM=DF,连接BM、EM,如图②所示: 同(1)得:△BMD≌△CFD(SAS), ∴BM=CF, ∵DE⊥DF,DM=DF, ∴EM=EF, 在△BME中,由三角形的三边关系得:BE+BM>EM, ∴BE+CF>EF; (3)【解析】 BE+DF=EF;理由如下: 延长AB至点N,使BN=DF,连接CN,如图3所示: ∵∠ABC+∠D=180°,∠NBC+∠ABC=180°, ∴∠NBC=∠D, 在△NBC和△FDC中, BN=DF,∠NBC =∠D,BC=DC, ∴△NBC≌△FDC(SAS), ∴CN=CF,∠NCB=∠FCD, ∵∠BCD=140°,∠ECF=70°, ∴∠BCE+∠FCD=70°, ∴∠ECN=70°=∠ECF, 在△NCE和△FCE中, CN=CF,∠ECN=∠ECF,CE=CE, ∴△NCE≌△FCE(SAS), ∴EN=EF, ∵BE+BN=EN, ∴BE+DF=EF.
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如图,ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,ADBC,垂足是D,AE平分∠BAD,交BC于点E.在ABC外取一点F,使FAAE,FCBC.

(1)求证:BE=CF;   

(2)在AB上取一点M,使BM=2DE,连接ME.试判断MEBC是否垂直,并说明理由.

 

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已知:如图,AB=AE,B=E,BC=ED,AFCD,求证:CF=DF.

 

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如图,点A,C,D,B四点共线,且AC=BD,A=B,ADE=BCF,求证:DE=CF.

 

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已知:如图A=D=90°,AC=BD.求证:OB=OC.

 

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如图,在RtABCRtDCB中,AB=DC,A=D=90°,ACBD交于点O,则有________≌△________,其判定依据是________,还有________≌△________,其判定依据是________

 

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