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已知△ABC中,∠ABC=∠ACB,D为线段CB上一点(不与C,B重合),点E为...

已知ABC中,∠ABC=ACB,D为线段CB上一点(不与C,B重合),点E为射线CA上一点,∠ADE=AED,设∠BAD=α,CDE=β.   

(1)如图(1),

①若∠BAC=42°,DAE=30°,则α=________,β=________.

②若∠BAC=54°,DAE=36°,则α=________,β=________.

③写出αβ的数量关系,并说明理由;   

(2)如图(2),当E点在CA的延长线上时,其它条件不变,请直接写出αβ的数量关系.

 

(1) 12°;6°;18°;9°;(2) α=2β﹣180°,理由见解析. 【解析】 试题(1)①先根据角的和与差求α的值,根据等腰三角形的两个底角相等及顶角为30°得:∠ADE=∠AED=75°,同理可得:∠ACB=∠B=69°,根据外角性质列式:75°+β=69°+12°,可得β的度数; ②同理可求得:α=54°﹣36°=18°,β=9°; ③设∠BAC=x°,∠DAE=y°,则α=x°﹣y°,分别求出∠ADE和∠B,根据∠ADC=∠B+α列式,可得结论; (2)α=2β﹣180°,理由是:如图(2),设∠E=x°,则∠DAC=2x°,根据∠ADC=∠B+∠BAD,列式可得结论. 【解析】 (1)①∵∠DAE=30°, ∴∠ADE+∠AED=150°, ∴∠ADE=∠AED=75°, ∵∠BAC=42°, ∴α=42°﹣30°=12°, ∴∠ACB=∠B==69°, ∵∠ADC=∠B+α, ∴75°+β=69°+12°, β=6°; 故答案为:12°,6°; ②∵∠DAE=36°, ∴∠ADE+∠AED=144°, ∴∠ADE=∠AED=72°, ∵∠BAC=54°, ∴α=54°﹣36°=18°, ∴∠ACB=∠B==63°, ∵∠ADC=∠B+α, ∴72°+β=63°+18°, β=9°; 故答案为:18°,9°; ③α=2β,理由是: 如图(1),设∠BAC=x°,∠DAE=y°,则α=x°﹣y°, ∵∠ACB=∠ABC, ∴∠ACB=, ∵∠ADE=∠AED, ∴∠AED=, ∴β+∠ADE=α+∠ABC, β+=α+, ∴α=2β; (2)α=2β﹣180°,理由是: 如图(2),设∠E=x°,则∠DAC=2x°, ∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=α+2x°, ∴∠B=∠ACB=, ∵∠ADC=∠B+∠BAD, ∴β﹣x°=+α, ∴α=2β﹣180°.
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