Question

已知∠α的顶点在正n边形的中心点O处，∠α绕着顶点O旋转，角的两边与正n边 形的两边分别交于点M、N，∠α与正n边形重叠部分面积为S．   

（1）当n=4，边长为2，∠α=90°时，如图（1），请直接写出S的值；

（2）当n=5，∠α=72°时，如图（2），请问在旋转过程中，S是否发生变化？并说明理由；

（3）当n=6，∠α=120°时，如图（3），请猜想S是原正六边形面积的几分之几（不必说明理由）．若∠α的平分线与BC边交于点P，判断四边形OMPN的形状，并说明理由．

Answer

（1）1；（2）不变；（3），四边形OMPN是菱形．

【解析】

（1）如图1，连接对角线OA、OB，证明△AOM≌△BON（ASA），则S△AOM=S△BON， 所以S=S△ABO= S正方形ABCD= ×4=1；

（2）如图2，在旋转过程中，∠α与正n边形重叠部分的面积S不变，连接OA、OB，同理证明△OAM≌△OBN，则S=S△OBN+S△OBM=S△OAM+S△OBM=S△OAB，故S的大小不变；

（3）如图3，120°相当于两个中心角，可以理解为一个中心角连续旋转两次，由前两问的推理得，旋转一个中心角时重叠部分的面积是原来正n边形面积的 ，则S是原正六边形面积的；也可以类比（1）（2）证明△OAM≌△OBN，利用割补法求出结论；

四边形OMPN是菱形，

理由如下：如图4，作∠α的平分线与BC边交于点P，作辅助线构建全等三角形，同理证明△OAM≌△OBP≌△OCN，得△OMP和△OPN都是等边三角形，则OM=PM=OP=ON=PN，根据四边相等的四边是菱形可得：四边形OMPN是菱形．

（1）【解析】
如图1，连接OA、OB，

当n=4时，四边形ABCD是正方形，

∴OA=OB，AO⊥BO，

∴∠AOB=90°，

∴∠AON+∠BON=90°，

∵∠MON=∠α=90°，

∴∠AON+∠AOM=90°，

∴∠BON=∠AOM，

∵O是正方形ABCD的中心，

∴∠OAM=∠ABO=45°，

在△AOM和△BON中，

∵ ，

∴△AOM≌△BON（ASA），

∴S△AOM=S△BON，

∴S△AOM+S△AON=S△BON+S△AON，

即S四边形ANDM=S△ABO=S，

∵正方形ABCD的边长为2，

∴S正方形ABCD=2×2=4，

∴S=S△ABO= S正方形ABCD= ×4=1；

（2）【解析】
如图2，在旋转过程中，∠α与正n边形重叠部分的面积S不变，

理由如下：连接OA、OB，

则OA=OB=OC，∠AOB=∠MON=72°，

∴∠AOM=∠BON，且∠OAB=∠OBC=54°，

∴△OAM≌△OBN，

∴四边形OMBN的面积：S=S△OBN+S△OBM=S△OAM+S△OBM=S△OAB，

故S的大小不变；

（3）【解析】
猜想：S是原正六边形面积的，理由是：

如图3，连接OB、OD，

同理得△BOM≌△DON，

∴S=S△BOM+S四边形OBCN=S△DON+S四边形OBCN=S四边形OBCD= S六边形ABCDEF；

四边形OMPN是菱形，

理由如下：

如图4，作∠α的平分线与BC边交于点P，

连接OA、OB、OC、OD、PM、PN，

∵OA=OB=OC=OD，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠MOP=∠PON=60°，

∴∠OAM=∠OBP=∠OCN=60°，∠AOM=∠BOP=∠CON，

∴△OAM≌△OBP≌△OCN，

∴OM=OP=ON，

∴△OMP和△OPN都是等边三角形，

∴OM=PM=OP=ON=PN，

∴四边形OMPN是菱形．