Question

已知：如图所示，△ABC中，∠ABC=45°，高AE与高BD交于点M，BE=4，EM=3．

（1）△BEM与△AEC全等吗？请说明理由；

（2）BM与AC相等吗？请说明理由；

（3）求△ABC的面积．

Answer

（1）全等，理由见解析；（2）相等，理由见解析；（3）S△ABC=14．

【解析】

（1）根据已知条件易证AE=BE，再由AAS即可证明△BEM≌△AEC；（2）根据全等三角形的性质即可得BM=AC；（3）由（1）可知△BEM≌△AEC，根据全等三角形的性质可得BE=AE，EM=EC，再由三角形的面积公式计算即可．

（1）全等，

∵AE、BD为△ABC的高，

∴∠BEM=∠AEC=∠BDC=90°，

∴∠EBM+∠C=∠EBM+∠BME=90°，

∴∠BME=∠C，

又∠ABC=45°，

∴∠ABC=∠BAE=45°，

∴AE=BE，

在△BEM和△AEC中

∵

∴△BEM≌△AEC（AAS），

（2）相等，

∵△BEM≌△AEC，

∴BM=AC．

（3）∵△BEM≌△AEC，

∴BE=AE=4，EM=EC=3，

∴BC=BE+EC=7，

∴S△ABC=×7×4=14．