Question

如图，已知AM∥BN，∠A=80°，点P是射线AM上动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D．

（1）求∠CBD的度数；

（2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；

（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数．

Answer

（1）∠CBD=50°；（2）不变，∠APB：∠ADB=2：1；（3）∠ABC=25°．

【解析】

（1）由平行线的性质可求得∠ABN，再根据角平分线的定义和整体思想可求得∠CBD；

（2）由平行线的性质可得∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，再由角平分线的定义可求得结论；

（3）由平行线的性质可得到∠ACB=∠CBN=60°+∠DBN，结合条件可得到∠DBN=∠ABC，且∠ABC+∠DBN=60°，可求得∠ABC的度数．

（1）∵AM∥BN，

∴∠ABN+∠A=180°，

∴∠ABN=180°﹣80°=100°，

∴∠ABP+∠PBN=100°，

∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，

∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，

∴2∠CBP+2∠DBP=100°，

∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=50°；

（2）不变，∠APB：∠ADB=2：1．

∵AM∥BN，

∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，

∵BD平分∠PBN，

∴∠PBN=2∠DBN，

∴∠APB：∠ADB=2：1；

（3）∵AM∥BN，

∴∠ACB=∠CBN，

当∠ACB=∠ABD时，则有∠CBN=∠ABD，

∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，

∴∠ABC=∠DBN，

由（1）可知∠ABN=100°，∠CBD=50°，

∴∠ABC+∠DBN=50°，

∴∠ABC=25°．