Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC、CD．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标．

Answer

（1）y=﹣x2+x+4，(2) 点E的坐标为（1，），（3，）．

【解析】

（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣x1）（x﹣x2），再把点代入即可得出解析式；

（2）分两种情况：①当点E在直线CD的抛物线上方；②当点E在直线CD的抛物线下方；连接CE，过点E作EF⊥CD，再由三角函数得出点E的坐标．

（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），

∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣x1）（x﹣x2），

∴y=a（x+2）（x﹣4），

∴﹣8a=4，

∴a=﹣，

∴抛物线的解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+4，

（2）①当点E在直线CD的抛物线上方，记E′，连接CE′，过点E′作E′F′⊥CD，垂足为F′，

由（1）得OC=4，

∵∠ACO=∠E′OF′，

∴tan∠ACO=tan∠E′CF′，

∴，

设线段E′F′=h，则CF′=2h，

∴点E′（2h，h+4），

∵点E′在抛物线上，

∴﹣（2h）2+2h+4=h+4，

∴h1=0（舍去），h2=，

∴E′（1，）；

②当点E在直线CD的抛物线下方；

同①的方法得，E（3，），

综上，点E的坐标为（1，），（3，）．