Question

某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=﹣+c且过顶点C（0，5）（长度单位：m）

（1）直接写出c的值；

（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，地毯的价格为20元/m²，求购买地毯需多少元？

（3）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG．已知矩形EFGH的周长为27.5m，求斜面EG的倾斜角∠GEF的度数．（精确到0.1°）

Answer

(1)5；（2）900元；（3）20.6°.

【解析】

（1）根据点在抛物线上易求得c；

（2）根据解析式求出A，B，C三点坐标，求出地毯的总长度，再根据地毯的价格求出购买地毯需要的钱；

（3）由已知矩形EFGH的周长，求出GF，EF边的长度，再根据三角函数性质求出倾斜角∠GEF的度数．

（1）抛物线的解析式为y=﹣+c，

∵点（0，5）在抛物线上

∴c=5；

（2）由（1）知，OC=5，

令y=0，即﹣+5=0，解得x1=10，x2=﹣10；

∴地毯的总长度为：AB+2OC=20+2×5=30，

∴30×1.5×20=900

答：购买地毯需要900元．

（3）可设G的坐标为（m，﹣+5）其中m＞0

则EF=2m，GF=﹣+5，

由已知得：2（EF+GF）=27.5，

即2（2m﹣+5）=27.5，

解得：m1=5，m2=35（不合题意，舍去），

把m1=5代入，﹣+5=﹣×52+5=3.75，

∴点G的坐标是（5，3.75），

∴EF=10，GF=3.75，

在Rt△EFG中，tan∠GEF==0.375，

∴∠GEF≈20.6°．