Question

如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在边BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG.

（1）求证：①DE=DG；  ②DE⊥DG；

（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；

（4）当=时，请直接写出的值.

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）

【解析】

试题（1）由已知证明DE、DG所在的三角形全等，再通过全等三角形的对应角相等等量代换得出∠EDG＝90°即可；

（2）根据有一个角是直角的菱形是正方形，分别以点G、E为圆心以DG为半径画弧交点F，得到正方形DEFG；

（3）由已知首先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证出四边形CKGD是平行四边形，然后根据平行四边形的性质和正方形的性质即可证明四边形CEFK为平行四边形；

（4）设CE＝x，则CB＝nx，CD＝nx，根据勾股定理表示出DE2，即可表示出正方形ABCD和正方形DEFG的面积，然后作比即可．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴DC＝DA，∠DCE＝∠DAG＝90°．

又∵CE＝AG，

∴△DCE≌△DAG，

∴DE＝DG，

∠EDC＝∠GDA，

又∵∠ADE＋∠EDC＝90°，

∴∠ADE＋∠GDA＝90°，

∴DE⊥DG．

（2）【解析】
如图．

（3）【解析】
四边形CEFK为平行四边形．

证明：设CK、DE相交于M点

∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，

∴AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG，

∵BK＝AG，

∴KG＝AB＝CD，

∴四边形CKGD是平行四边形，

∴CK＝DG＝EF，CK∥DG，

∴∠KME＝∠GDE＝∠DEF＝90°，

∴∠KME＋∠DEF＝180°，

∴CK∥EF，

∴四边形CEFK为平行四边形．

（4）【解析】
∵，

∴设CE＝x，则CB＝nx，

∴CD＝nx，

∴DE2＝CE2＋CD2＝n2x2＋x2＝(n2＋1)x2，

∵BC2＝n2x2，

∴＝＝．