Question

已知：关于x的方程x²﹣（2m+1）x+2m=0

（1）求证：方程一定有两个实数根；

（2）若方程的两根为x₁，x₂，且|x₁|=|x₂|，求m的值．

Answer

(1)详见解析；（2）当x1≥0，x2≥0或当x1≤0，x2≤0时，m=；当x1≥0，x2≤0时或x1≤0，x2≥0时，m=﹣．

【解析】试题（1）根据判别式△≥0恒成立即可判断方程一定有两个实数根；

（2）先讨论x1，x2的正负，再根据根与系数的关系求解．

试题解析：（1）关于x的方程x2﹣（2m+1）x+2m=0，

∴△=（2m+1）2﹣8m=（2m﹣1）2≥0恒成立，

故方程一定有两个实数根；

（2）①当x1≥0，x2≥0时，即x1=x2，

∴△=（2m﹣1）2=0，

解得m=；

②当x1≥0，x2≤0时或x1≤0，x2≥0时，即x1+x2=0，

∴x1+x2=2m+1=0，

解得：m=﹣；

③当x1≤0，x2≤0时，即﹣x1=﹣x2，

∴△=（2m﹣1）2=0，

解得m=；

综上所述：当x1≥0，x2≥0或当x1≤0，x2≤0时，m=；当x1≥0，x2≤0时或x1≤0，x2≥0时，m=﹣．