Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点M在BA的延长线上，MD切⊙O于点D，过点B作BN⊥MD于点C，连接AD并延长，交BN于点N．

(1)求证：AB=BN；

(2)若⊙O半径的长为3，cosB=，求MA的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）MA=4.5

【解析】试题

（1）连接OD，可得OD⊥MD，结合BN⊥MD，可得OD∥BN，由此可得∠N=∠ADO；由OA=OD，可得∠OAD=∠ADO，进一步可得∠N=∠OAD，从而就可得到AB=BN；

（2）由（1）中所得的OD∥BN可得∠MOD=∠B，由此可得cos∠MOD=cosB=，结合OD=OA=3，OM=OA+AM，cos∠MOD=可得，由此即可解得AM的长.

试题解析：

（1）连接OD，

∵MD切⊙O于点D，

∴OD⊥MD，

∵BN⊥MC，

∴OD∥BN，

∴∠ADO=∠N，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∴∠OAD=∠N，

∴AB=BN；

（2）∵OD∥BN，

∴∠MOD=∠B，

∴cos∠MOD=cosB=，

∴在Rt△MOD中，cos∠MOD===，

∵OD=OA，MO=MA+OA=3+MA，

∴ ，解得：AM=4.5.