Question

在平面直角坐标系xOy中，直线: 与抛物线相交于点A（,7）.

(1)求m，n的值；

(2)过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，设抛物线与x轴交于点C、D(点C在点D的左侧)，求△BCD的面积；

(3)点E（t,0）为x轴上一个动点，过点E作平行于y轴的直线与直线和抛物线分别交于点P、Q.当点P在点Q上方时，求线段PQ的最大值.

Answer

（1）m=1，n=3；（2）S△BCD=21；（3）PQ的最大值为9.

【解析】试题

（1）把点A（-2，7）分别代入两个函数的解析式即可求得m=1，n=3；

（2）由（1）中所得m=1可得抛物线的解析式为，令，求出对应的的值即可求得C、D的坐标；根据点A的坐标和AB∥轴交抛物线于点B，可求得点B的坐标，由此即可求出△BCD的面积；

（3）由题意，可知P(t，-2 t+3)，Q( t，t2-4 t-5)，可得PQ= -t2+2 t+8=-( t-2) 2+9；由一次函数和二次函数的解析式组成方程组，解方程组可求得两函数图象的交点坐标，从而可得求得当点P在点Q上方时，t的取值范围，结合所得PQ= -t2+2 t+8=-( t-2) 2+9即可求得PQ的最大值.

试题解析：

（1）把点A（-2，7）分别代入两个函数的解析式得：

，解得：m=1，n=3；

（2）由m=1可得抛物线表达式为y=x2-4x-5，

令y=0得，x2-4x-5=0. 解得x1=-1，x2=5，

∴抛物线y=x2-4x-5与x轴得两个交点C、D的坐标分别为C(-1，0)，D(5，0)，

∴CD=6，

∵A（-2,7），AB∥x轴交抛物线于点B，根据抛物线的轴对称性，可得B(6，7)，

∴S△BCD=21；

（3）由题意，可知P(t，-2 t+3)，Q( t，t2-4 t-5)，

由 解得： ， ，

∴直线y=-2x+3与抛物线y= x2-4x-5的两个交点坐标分别为(-2,7)和(4,-5)，

∵点P在点Q上方，

∴-2＜t＜4，

又∵在PQ= -t2+2 t+8=-( t-2) 2+9中，a=-1<0，

∴PQ的最大值为9.