Question

如图（1），在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4交坐标轴于A、B两点，过点C（﹣4，0）作CD⊥AB于D，交y轴于点E．

（1）求证：△COE≌△BOA；

（2）如图2，点M是线段CE上一动点（不与点C、E重合），ON⊥OM交AB于点N，连接MN．

①判断△OMN的形状．并证明；

②当△OCM和△OAN面积相等时，求点N的坐标．

Answer

(1)证明见解析；（2）①△MON是等腰直角三角形；②点N的坐标为（1.5，2）.

【解析】

（1）代入解析式后得出OB，OA的长，再利用全等三角形的判定证明即可；
（2）①根据全等三角形的判定和性质得出OM=ON，再利用等腰直角三角形的判定解答即可；
②根据全等三角形的性质和三角形面积公式解答即可．

【解析】
（1）把x=0代入y=﹣x+4，

解得：y=4，

∴OB=4，

把y=0代入y=﹣x+4，解得：x=3，

∴OA=3，

∵C（﹣4，0），

∴OC=4，

∴OB=OC，

∵CD⊥AB，

∴∠ACD+∠CAD=90°，

∵∠ACD+∠OEC=90°，

∴∠CAD=∠OEC，

在△COE与△BOA中

，

∴△COE≌△BOA（AAS）；

（2）①∵ON⊥OM，

∴∠MON=90°，

∴∠COM+∠AON=90°，

∵∠AON+∠BON=90°，

∴∠COM=∠BON，

∵△COE≌△BOA，

∴∠OCM=∠OBN，

在△COM与△BON中

，

∴△COM≌△BON（ASA），

∴OM=ON，∠COM=∠BON，

∵∠COM+∠MOE=90°，

∴∠BON+∠MOE=90°，

即∠MON=90°，

∴△MON是等腰直角三角形；

②∵△COM≌△BON，△OCM与△OAN面积相等，

∴△BON与△OAN面积相等，

即△OAN面积是△AOB面积的一半，

，

解得： =2，

把y=2代入y=﹣x+4，

解得：x=1.5，

∴点N的坐标为（1.5，2）.