Question

已知点A，B在数轴上对应的实数分别是a，b，其中a，b满足|a﹣2|+（b+1）²=0．

（1）求线段AB的长；

（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程x﹣1=x+1的解，在数轴上是否存在点P，使PA+PB=PC，若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由；

（3）在（1）和（2）的条件下，点A，B，C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，设运动时间为t秒，试探究：随着时间t的变化，AB与BC满足怎样的数量关系？请写出相应的等式．

Answer

（1）3；（2）﹣2或0；（3）t≤时，AB+BC=7；当t＞时，BC﹣AB=7．

【解析】

（1）根据绝对值及完全平方的非负性，可得出a、b的值，继而可得出线段AB的长；

（2）先求出x的值，再由PA+PB=PC，可得出点P对应的数；

（3）根据A，B，C的运动情况确定AB，BC的变化情况，再根据t的取值范围即可求出AB与BC满足的数量关系．

（1）∵|a﹣2|+（b+1）2=0，∴a=2，b=﹣1，∴线段AB的长为：2﹣（﹣1）=3；

（2）解方程x﹣1=x+1，得x=3，则点C在数轴上对应的数为3．

由图知，满足PA+PB=PC时，点P不可能在C点右侧，不可能在线段AC上，①如果点P在点B左侧时，2﹣x+（﹣1）﹣x=3﹣x，解得：x=﹣2；

③当P在A、B之间时，3﹣x=3，解得：x=0．

故所求点P对应的数为﹣2或0；

（3）t秒钟后，A点位置为：2﹣t，B点的位置为：﹣1+4t，C点的位置为：3+9t，BC=3+9t﹣（﹣1+4t）=4+5t，AB=|﹣1+4t﹣2+t|=|5t﹣3|，分两种情况讨论：

①当t≤时，AB+BC=3﹣5t+4+5t=7；

②当t＞时，BC﹣AB=4+5t﹣（5t﹣3）=7．

综上所述：当t≤时，AB+BC=7；当t＞时，BC﹣AB=7．