Question

如图，抛物线 与x轴交于点A（－1，0），点B（3，0），与y轴正半轴交于点C.

（1）抛物线的解析式为________；   

（2）P为抛物线上一点，连结AC，PC，若∠PCO=3∠ACO，点P的坐标为________.

Answer

y=−x2+2x+3 (,)

【解析】

（1）将A、B两点坐标代入抛物线解析式得一个二元一次方程组，解之即可得出b、c值，从而可得抛物线解析式.

（2）延长CP交x轴于点E，在x轴上取点D，使CD=CA，作EN⊥CD交CD的延长线于点N，作AI⊥CD交CD于I，由等腰三角形三线合一的性质可知

∠DCO=∠ACO，结合已知条件可知∠ACD=∠ECD，由此得tan∠ACD=tan∠ECD，即， 根据等面积法求得AI=， 由勾股定理得CI=， 即， 由此设EN=3x，则CN=4x，根据tan∠CDO=tan∠EDN得DN=x，由CD=CN-DN求得x值以及E点坐标，再由待定系数法求得直线CE解析式y=-x+3，将直线CE和抛物线解析式联立、解之即可求得P点坐标.

（1）【解析】
∵A（－1，0），B（3，0）在抛物线上，

∴，

解得：

∴抛物线解析式为：y=−x2+2x+3.

故答案为：y=−x2+2x+3.（2）延长CP交x轴于点E，在x轴上取点D，使CD=CA，作EN⊥CD交CD的延长线于点N，作AI⊥CD交CD于I，

∵CD=CA，OC⊥AD，

∴∠DCO=∠ACO，

∵∠PCO=3∠ACO，

∴∠ACD=∠ECD，

∴tan∠ACD=tan∠ECD，

∴，

在Rt△ACI中，

又∵A（-1，0），C（0，3），

∴OA==OD=1，OC=3，

∴AD=2，AC=DC=

AI=，

∴CI=，

∴，

设EN=3x，则CN=4x，DE=5x，

∵tan∠CDO=tan∠EDN，

∴，

∴DN=x，

∴CD=CN-DN=4x-x=3x=，

∴x=，

即DN=， EN=，

∴DE=，

∴E（， 0），

设直线CE解析式为：y=kx+b，

∴，

解得，

∴直线CE解析式为：y=-x+3，

∴，

解得：（舍去）或，

∴P（，）.