Question

已知点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)在二次函数y=x²+mx+n的图像上，当x₁=1，x₂=3时，y₁= y₂．

（1）①求m的值；

②若抛物线与x轴只有一个公共点，求n的值.

（2）若P(a，b₁)，Q(3，b₂)是函数图像上的两点，且b₁＞b₂  ， 求实数a的取值范围.

（3）若对于任意实数 ， 都有 ≥2，求n的取值范围.

Answer

（1）①m=-4；②n=4 ；（2）a＞3或a＜1 ；（3）n≥5

【解析】

试题（1）①利用抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线x=2，则根据抛物线对称轴方程得到=2，然后解方程即可得到m的值；

②利用△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到△=m2﹣4n=0，然后解方程即可得到n的值；

（2）利用二次函数的性质，由于x1=1、x2=3时，y1=y2，点P到直线x=2的距离比点Q到直线x=2的距离要大，于是可得到a＜1或a＞3；

（3）由于对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2，则判断二次函数y=x2﹣4x+n的最小值大于或等于1，根据顶点坐标公式得到≥1，然后解不等式即可．

试题解析：【解析】
（1）①∵当x1=1、x2=3时，y1=y2，∴点A与点B为抛物线上的对称点，∴抛物线的对称轴为直线x=2，即=2，∴m=﹣4；

②∵抛物线与x轴只有一个公共点，∴△=m2﹣4n=0，而m=﹣4，∴n=4；

（2）∵x1=1、x2=3时，y1=y2，而抛物线开口向上，∴当a＞3时，b1＞b2，或a＜1时，b1＞b2，即实数a的取值范围为a＜1或a＞3；

（3）∵对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2，∴二次函数y=x2﹣4x+n的最小值大于或等于1，即≥1，∴n≥5．