Question

如图，平面直角坐标系中，以点M（4，0）为圆心，MO为半径的半圆交x轴于点A，P为半圆上的一个动点，以点P为直角顶点在OP上方作Rt△OPB，且OP=2PB，OB交半圆于点Q.

  

（1）当P为半圆弧的中点时，求△OPB的面积.   

（2）在运动过程中，求MB的最大值.   

（3）在运动过程中，若点Q将线段OB分为1：2的两部分，求出此时点P的坐标.

Answer

（1）8；（2）；（3）P（，）或（，）.

【解析】

（1）由P为半圆弧的中点可知PM⊥OA，P（4，4），根据勾股定理求得OP=4， 由已知条件可得PB=2， 根据三角形的面积公式计算即可.

（2）连结AP，易证得B,P,A三点共线；在△OAB中，两高线OP和AQ的交点C，则BC垂直于x轴，易得BM≤BC+CM，当B，C，M在同一直线上时，BM=BC+CM，BM取得最大值，求出此时的BM值即可.

（3）由点Q将线段OB分为1：2的两部分，可知OQ：BQ=2:1或OQ：BQ=1:2；连接AQ，设出未出知数，结合△OPB~△AQB，用未知数表示出AP和OP；在Rt△OAP中，由勾股定理构造方程解出未知数；并相应的求出点P的横、纵坐标即可.

（1）∵P为半圆弧的中点，M（4，0），⊙M半径为4，

∴P（4，4），PM⊥OA，

∴OP=，

∵OP=2PB，

∴PB=2，

在Rt△OPB中，

∴SRt△OPB=×PB×OP=.

∴△OPB的面积为8.

（2）连结AP，AQ交OP于点C，

∵OA是半圆M的直径，

∴∠APO=∠AQO=90°,

又∵∠OPB=90°,

∴∠OPB+∠APO=180°,

∴点B,P,A三点共线，

连结BC，CM，BM，

∵在△OAB中，AQ和OP都是△OAB的高线，C是AQ和OP的交点，

∴直线BC⊥OA，

∵BM≤BC+CM，

∴当B，C，M在同一直线上时，BM=BC+CM，BM取得最大值，此时BM⊥OA，

又∵OM=AM，

∴OB=AB.

设BP=x，则OP=2x，AB=OB=x，AP=x-x=（-1）x，

在Rt△OPA中，∵OP2+AP2=OA2 ，

∴（2x）2+（-1）x2=82 ，

解得x2=.

在Rt△OBM中，

∵BM2=OB2-OM2 ，

∴BM=

（3）连结AQ，过点P作PN⊥OA于N，

①当OQ：BQ=2:1，设BP=3x，则OP=6x，OB=x，则OQ=2x，BQ=x.

∵∠OPB=∠AQB=90°，∠B=∠B，

∴△OPB~△AQB，

∴，

则，即AB=5x，

则AP=AB-BP=2x，

在Rt△OPA中，由OP2+AP2=OA2 ， 得(6x)2+(2x)2=82 ，

解得x2=

∵S△OPA=,

∴PN=，

则ON=，

∴点P（，）.

②当OQ：BQ=1:2，设BP=3x，则OP=6x，OB=3x，则OQ=x，BQ=2x.

∵∠OPB=∠AQB=90°，∠B=∠B，

∴△OPB~△AQB，

∴，

则，即AB=10x，

则AP=AB-BP=7x，

在Rt△OPA中，由OP2+AP2=OA2 ， 得（6x）2+（7x）2=82 ，

解得x2=.

∵S△OPA=,

∴PN=，

则ON=，

∴点P（，）.

综上所述，P（，）或（，）.