Question

已知：F、G分别为直线AB、CD上的点，E为平面内任意一点，连接EF、EG，∠AFE＋∠CGE＝∠FEG.

（1）如图（1），求证：AB∥CD，

（2）如图（2），过点E作EM⊥EF、EH⊥EG交直线AB上的点M、H，点N在EH上，过N作PQ∥EF.求证∶∠HNQ＝∠MEG.

（3）如图（3）在（2）的条件下，若∠ENQ＝∠EMF，∠EGD＝110°，求∠CQP的度数.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）125°.

【解析】

（1）过E作ET∥AB,证得∠GET=∠EGC,从而ET∥CD,因此可得结论;

（2）根据EM⊥EF、EH⊥EG,得∠MEG＋∠FEN＝180°;根据PQ∥EF得∠PNE＋∠FEN＝180°,∠HNQ＝∠PNE,故∠HNQ＝∠MEG;

（3）设∠FME＝α 则α＋α＋20°＝90°,求得α＝35°, 因此∠MPN＝∠MFE＝55°,故∠PQC＝125°.

（1）过E作ET∥AB.

则∠AFE=∠FET,

∵∠FET+∠GET=∠FEG,

∠AFE＋∠CGE＝∠FEG,

∴∠GET=∠EGC,

∴ET∥CD,

∴AB∥CD;

（2）如图,

∵EM⊥EF、EH⊥EG,

∴∠MEG＋∠FEN＝180°,

∵PQ∥EF

∴∠PNE＋∠FEN＝180°,∠HNQ＝∠PNE

∴∠HNQ＝∠MEG

（3）过E作ET∥AB,

设∠FME＝α ,

∵α＋α＋20°＝90°,

∴α＝35°,

∴∠MPN＝∠MFE＝α＋20°＝55°,

∴∠PQC＝180°－55°＝125°.