Question

我们知道，经过原点的抛物线可以用y=ax²+bx（a≠0）表示，对于这样的抛物线：

（1）当抛物线经过点（﹣2，0）和（﹣1，3）时，求抛物线的表达式；

（2）当抛物线的顶点在直线y=﹣2x上时，求b的值；

（3）如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A₁、A₂、…，A_n在直线y=﹣2x上，横坐标依次为﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n（n为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B₁、B₂，…，B_n，以线段A_nB_n为边向左作正方形A_nB_nC_nD_n，如果这组抛物线中的某一条经过点D_n，求此时满足条件的正方形A_nB_nC_nD_n的边长．

Answer

（1）抛物线的表达式为y=﹣3x2﹣6x；（2）b1=﹣4，b2=0；（3）正方形的边长是10．

【解析】试题（1）把点（﹣2，0）和（﹣1，3）分别代入y=ax2+bx，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可；

（2）根据二次函数的性质，得出抛物线y=ax2+bx的顶点坐标是（﹣，﹣），把顶点坐标代入y=﹣2x，得出﹣=﹣2×（﹣），即可求出b的值；

（3）由于这组抛物线的顶点A1、A2、…，An在直线y=﹣2x上，根据（2）的结论可知，b=4或b=0．①当b=0时，不合题意舍去；②当b=﹣4时，抛物线的表达式为y=ax2﹣4x．由题意可知，第n条抛物线的顶点为An（﹣n，2n），则Dn（﹣3n，2n），因为以An为顶点的抛物线不可能经过点Dn，设第n+k（k为正整数）条抛物线经过点Dn，此时第n+k条抛物线的顶点坐标是An+k（﹣n﹣k，2n+2k），根据﹣=﹣n﹣k，得出a==﹣，即第n+k条抛物线的表达式为y=﹣x2﹣4x，根据Dn（﹣3n，2n）在第n+k条抛物线上，得到2n=﹣×（﹣3n）2﹣4×（﹣3n），解得k=n，进而求解即可．

试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx经过点（﹣2，0）和（﹣1，3），

∴，解得，

∴抛物线的表达式为y=﹣3x2﹣6x；

（2）∵抛物线y=ax2+bx的顶点坐标是（﹣，﹣），且该点在直线y=﹣2x上，

∴﹣=﹣2×（﹣），

∵a≠0，∴﹣b2=4b，

解得b1=﹣4，b2=0；

（3）这组抛物线的顶点A1、A2、…，An在直线y=﹣2x上，

由（2）可知，b=4或b=0．

①当b=0时，抛物线的顶点在坐标原点，不合题意，舍去；

②当b=﹣4时，抛物线的表达式为y=ax2﹣4x．

由题意可知，第n条抛物线的顶点为An（﹣n，2n），则Dn（﹣3n，2n），

∵以An为顶点的抛物线不可能经过点Dn，设第n+k（k为正整数）条抛物线经过点Dn，此时第n+k条抛物线的顶点坐标是An+k（﹣n﹣k，2n+2k），

∴﹣=﹣n﹣k，∴a==﹣，

∴第n+k条抛物线的表达式为y=﹣ x2﹣4x，

∵Dn（﹣3n，2n）在第n+k条抛物线上，

∴2n=﹣×（﹣3n）2﹣4×（﹣3n），解得k= n，

∵n，k为正整数，且n≤12，

∴n1=5，n2=10．

当n=5时，k=4，n+k=9；

当n=10时，k=8，n+k=18＞12（舍去），

∴D5（﹣15，10），

∴正方形的边长是10．