Question

苏科版九年级下册数学课本65页有这样一道习题：

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．

（1）△ACD与△CBD相似吗？为什么？

（2）图中还有几对相似三角形？是哪几对？

复习时，小明提出了新的发现：“利用△ACD∽△CBD∽△ABC可以进一步证明：

①CD²=AD•BD，②BC²=BD•AB，③AC²=AD•AB．”

（1）请你按照小明的思路，选择①、②、③中的一个进行证明；

（2）小亮研究“小明的发现”时，又惊喜地发现，利用“它”可以证明“勾股定理”，请你按照小亮思路完成这个证明；

（3）小丽也由小明发现的“CD²=AD•BD”，进一步发现：“已知线段a、b，可以用尺规作图作出线段c，使c²=a•b”，请你完成小丽的发现．（不要求写出作法，请保留作图痕迹）

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

（1）利用相似三角形的性质即可证明；

（2）利用（1）中结论，可得BC2=BD•AB，AC2=AD•AB

推出BC2+AC2=BD•AB+AD•AB=AB•（BD+AD）=AB•AB=AB2；

（3）作以a+b为直径的圆即可解决问题；

（1）证明：∵△ACD∽△CBD

∴=，

∴CD2=AD•BD．

其余证明方法类似．

（2）证明：∵BC2=BD•AB，AC2=AD•AB

∴BC2+AC2=BD•AB+AD•AB

=AB•（BD+AD）

=AB•AB=AB2

∴BC2+AC2=AB2

（3）如图，线段c即为所求；