Question

（1）问题背景：已知，如图1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，AB=a，△ABC的面积为S，则有BC=a，S=a²．

（2）迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．

①求证：△ADB≌△AEC；

②求∠ADB的度数．

③若AD=2，BD=4，求△ABC的面积．

（3）拓展延伸：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，在∠BAC内作射线AM，点D与点B关于射线AM轴对称，连接CD并延长交AM于点E，AF⊥CD于F，连接AD，BE．

①求∠EAF的度数；

②若CD=5，BD=2，求BC的长．

Answer

（1）详见解析；（2）①详见解析；②∠ADB=150°；③5+6．；（3）①∠EAF=60°；②BC= ．

【解析】

（1）先判断出∠B=30°，BD=BC，再利用三角函数得出BD=AB，即可得出结论；

（2）①先判断出∠DAB=∠EAC，即可得出结论；

②先判断出∠ADB=∠AEC，再求出∠AEC，即可得出结论；

③先利用勾股定理求出EH，AH，再利用勾股定理求出AC2，借助（1）的结论即可得出结论；

（3）①先判断出∠BAE=∠DAE=∠BAD，∠DAF=∠CAF=∠CAD，即可得出∠EAF=∠BAC=60°，

②先求出DF=CD=2.5，再判断出△BDE是等边三角形，在Rt△AEF中，求出AE=3，在Rt△DEG中，EF=，∴AG=AE﹣EG=2，在Rt△ABG中，AB=，即可得出结论．

【解析】
（1）过点A作AD⊥BC于D，

∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴BD=BC，∠BAD=60°，

∴∠B=30°，cosB=，

∴=，

∴BD=AB，

∴BC=AB=a．

∴S△ABC=BC×AD=a2；

（2）

①∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，

∴AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠EAC，

在△ADB和△AEC中，，

∴△ADB≌△AEC（SAS），

②由①知，△ADB≌△AEC，

∴∠ADB=∠AEC，

在△ADE中，∠DAE=120°，

∴∠AED=30°，

∴∠AEC=150°，

∴∠ADB=150°，

③如图2，过点A作AH⊥CD于H，

∴DH=EH，

在Rt△ADH中，∠ADE=30°，AD=2，

∴AH=1，

∴DH=EH=，

由①知，△ADB≌△AEC，

∴CE=BD=4，

∴CH=CE+EH=4+，

在Rt△ACH中，AC2=AH2+CH2=20+8，

由（1）得，S△ABC=AC2=×（20+8）=5+6．

（3）①∵点B与点D关于AM对称，

∴∠BAE=∠DAE=∠BAD，AB=AD，

∵AB=AC，

∴AD=AC，

∵AF⊥CE，

∴∠DAF=∠CAF=∠CAD，

∴∠EAF=∠DAE+∠DAF=∠BAD+∠CAD=（∠BAD+∠CAD）=∠BAC=60°，

②∵CD=5，

∴DF=CD=2.5，

由①知，∠AEF=90°﹣∠EAF=30°，

由对称得，BG=DG=BD=1，∠BED=2∠AEF=60°，BE=DE，

∴△BDE是等边三角形，

∴DE=BD=2，

∴EF=4.5，

在Rt△AEF中，cos∠AEF=，

∴cos30°=，

∴AE=3，

在Rt△DEG中，EF=，

∴AG=AE﹣EG=2，

在Rt△ABG中，AB==，

由（1）知，BC=AB=．