Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=15．sin∠A=，点D是BC的中点，点P是AB上一动点（不与点B重合），延长PD至E，使DE=PD，连接EB、EC．

（1）求证；四边形PBEC是平行四边形；

（2）填空：

①当AP的值为　   　时，四边形PBEC是矩形；

②当AP的值为　   　时，四边形PBEC是菱形．

Answer

证明见解析；（2）①9；②12.5.

【解析】

（1）根据对角线互相平分的四边形为平行四边形证明即可；

（2）①若四边形PBEC是矩形，则∠APC=90°，求得AP即可；

②若四边形PBEC是菱形，则CP=PB，求得AP即可．

∵点D是BC的中点，∴BD=CD．

∵DE=PD，∴四边形PBEC是平行四边形；

（2）①当∠APC=90°时，四边形PBEC是矩形．

∵AC=15．sin∠A=，∴PC=12，由勾股定理得：AP=9，∴当AP的值为9时，四边形PBEC是矩形；

②在△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=15．sin∠A=，所以设BC=4x，AB=5x，则（4x）2+152=（5x）2，解得：x=5，∴AB=5x=25．

当PC=PB时，四边形PBEC是菱形，此时点P为AB的中点，所以AP=12.5，∴当AP的值为12.5时，四边形PBEC是菱形．